判断一个数列或函数是收敛还是发散，主要依据其极限行为。以下是几种常见的判断方法：
极限判断法
如果数列或函数的极限存在且为有限数，则其收敛；如果极限为无穷大，则其发散。
对于数列，如果通项公式 $a_n$ 的极限存在且为有限数，则数列收敛；如果极限不存在或为无穷大，则数列发散。
ε-N语言
数列收敛的严格定义是：对于任意给定的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \epsilon$，其中 $L$ 是数列的极限。
比较判别法
通过与其他已知收敛或发散的数列或函数进行比较，来判断目标数列或函数的收敛性。
比式判别法
适用于正项级数，如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$，当 $L < 1$ 时级数收敛，当 $L > 1$ 或 $L = \infty$ 时级数发散。
根式判别法
适用于正项级数，如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$，当 $L < 1$ 时级数收敛，当 $L > 1$ 时级数发散。
交错级数判别法
如果交错级数的项的绝对值单调递减且趋于零，则该级数收敛。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
适用于判断某些特定形式的级数的收敛性。
数值模拟中的收敛判断
在数值模拟中，通常通过监控残差来判断收敛性。如果残差降到设定的收敛标准以下，则认为计算收敛。
函数的导数法
如果函数在某一点的导数存在且有限，则函数在该点收敛；如果导数不存在或为无穷大，则函数在该点发散。
通过以上方法，可以系统地判断一个数列或函数是收敛还是发散。在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行判断。